Κωνσταντῖνος Καραθεοδωρῆς - Περὶ τῶν ἀσυνεχῶν λύσεων ἐν τῷ Λογισμῷ τῶν μεταβολῶν | Ἀνάλυσις: Νεῖλος Σακελλαρίου

 

  Ἡ πρώτη ἐπὶ διδακτορίᾳ ἐπιστημονικὴ ἐργασία τοῦ Κωνσταντίνου Καραθεοδωρῆ εἶναι ἓν τῶν σπουδαιοτέρων πρωτοτύπων ἐπιστημονικῶν αὐτοῦ ἔργων· συνετέλεσε δὲ τὰ μέγιστα εἰς τὴν περαιτέρω ἐξέλιξιν αὐτοῦ. Ὁ Λογισμὸς τῶν μεταβολῶν εἶναι εἷς τῶν σημαντικωτέρων μαθηματικῶν κλάδων· τὸ δὲ γενικὸν πρόβλημα αὐτοῦ ὑπὸ τὴν ἁπλουστέραν αὐτοῦ μορφὴν εἶναι τοῦτο: ὅταν δοθῇ ἡμῖν ἓν ὡρισμένον ὁλοκλήρωμα, ἔχον ὑπὸ τὸ σύμβολον τῆς ὁλοκληρώσεως συνάρτησιν μιᾶς μεταβλητῆς καὶ παράγωγον αὐτῆς, ζητεῖται νὰ εὑρεθῇ ἡ συνάρτησις· ἡ ὁποία νὰ καθιστῇ τὸ ὁλοκλήρωμα ἐλάχιστον ἢ μέγιστον. Ἐν τῷ γεωμετρικῷ μανδύᾳ τὸ γενικὸν αὐτὸ πρόβλημα δύναται νὰ διατυπωθῇ οὕτω: μεταξὺ δύο διαφόρων δοθέντων σημείων ἐπιπέδου ἄγονται ἄπειροι εἰς πλῆθος καμπύλαι γραμμαὶ (συνεχεῖς καὶ οὕτω καθεξῆς) , ὑποκείμεναι εἰς ὡρισμένους περιορισμοὺς καὶ εἰς ὡρισμένας συνθήκας. Ἐκ τῶν ἀπείρων αὐτῶν γραμμῶν ζητεῖται νὰ εὑρεθῇ ἐκείνη, ἡ ὁποία παρίσταται μεθ’ ὡρισμένης συναρτήσεως τῆς ἀνεξαρτήτου μεταβλητῆς καὶ ἡ συνάρτησις αὐτὴ εἰσαγομένη εἰς τὴν ὑπὸ τὸ σύμβολον τῆς ὁλοκληρώσεως παράστασιν καὶ ἔκφρασιν καθὼς καὶ ἡ παράγωγος αὐτῆς νὰ δίδωσιν αὐτῇ τὴν ἐλαχίστην τιμὴν εἰς τὸ ὁλοκλήρωμα ἀπὸ πάσης ἄλλης τιμῆς, ἡ ὁποία ἀντιστοιχεῖ εἰς συναρτήσεις τῆς θεωρηθείσης μορφῆς.

   Εἶχε σημειωθῆ σημαντικὴ πρόοδος εἰς τὸν κλάδον αὐτὸν τῶν μαθηματικῶν μετὰ τοῦ ὁποίου ἠσχολήθησαν οἱ ἑξῆς μαθηματικοί:

• Lagrange, ὡς θεμελιωτὴς
• Euler 
• Weierstrass 
• Hilbert 
• Goldschmidt

Τὸ πρόβλημα, ὅπως διετυπώθη ἀνωτέρω, ἠρευνήθη εὐρύτερον, γενικώτερον καὶ ἀπὸ πολλῶν εὐρυτέρων ἀπόψεων. Μεταξὺ τῶν ἐπὶ μέρους προβλημάτων ἦτο καὶ ἐκεῖνο διὰ τὸ ὁποῖον αἱ θεωρούμεναι καμπύλαι γραμμαὶ τοῦ ἐπιπέδου, αἱ περιοριζόμεναι μεταξὺ δύο ὡρισμένων ἄκρων σημείων, εἶναι συνεχεῖς, ἀλλὰ παρουσιάζουσιν ἀσυνέχειαν εἰς τὴν ἐφαπτομένην αὐτῶν. Αἱ θεωρούμεναι γραμμαὶ ἐν τῇ περιπτώσει ταύτῃ ἀποτελοῦνται τρόπον τινὰ ἑκάστη ἐκ δύο συνεχῶν κλάδων καμπύλων: τοὺς διερχομένους ἀπὸ τοῦ σημείου τούτου, ἀλλὰ τοὺς ἔχοντας διαφόρους ἐφαπτομένας αὐτῶν εὐθείας ἐν τῷ σημείῳ τούτῳ. Ἔχομεν ἤτοι τὴν περίπτωσιν μιᾶς συνεχοῦς καμπύλης, ἡ ὁποία παρουσιάζει ἓν γωνιῶδες σημεῖον εἰς ὃ ἡ ἐφαπτομένη αὐτῆς εἶναι ἀσυνεχής. Τὸ πρόβλημα τοῦτο, ἐκ τῶν σημαντικῶν καὶ θεμελιωδῶν τοῦ Λογισμοῦ τῶν μεταβολῶν, εἶχεν ἐρευνηθῆ μέχρι τῆς ἐποχῆς τοῦ Κωνσταντίνου Καραθεοδωρῆ ὑπὸ πολλῶν μαθηματικῶν καὶ ἐσημειώθη πρόοδος, ἀλλὰ ἡ βασικὴ αὐτοῦ λύσις ἦτο ἄγνωστος. Ὁ Κωνσταντῖνος Καραθεοδωρῆς ἔδωκεν ἡμῖν τὴν ὁριστικὴν καὶ πλήρη λύσιν τοῦ προβλήματος τῶν καλουμένων ἀσυνεχῶν λύσεων· ηὗρε καὶ διετύπωσε τὰς ἀναγκαίας συνθήκας διὰ τὴν δυνατότητα τῆς λύσεως τοῦ προβλήματος καθὼς καὶ τὰς δυνατὰς ἐπαρκεῖς συνθήκας· ηὗρε τὴν μορφὴν τῆς καλουμένης “E” συναρτήσεως τοῦ Weierstrass, γνωστῆς μέχρι τῆς ἐποχῆς ἐκείνης διὰ τὰς ἄλλας περιπτώσεις τῶν προβλημάτων τοῦ Λογισμοῦ τῶν μεταβολῶν· ἀνέπτυξε τὴν θεωρίαν τῶν καλουμένων συζυγῶν σημείων διὰ τὸ ἐν λόγῳ πρόβλημα καὶ ὑπέδειξεν ἡμῖν τὴν ἐπέκτασιν αὐτοῦ διὰ τὴν περίπτωσιν περισσοτέρων τοῦ ἑνὸς γωνιωδῶν σημείων τῆς λύσεως τοῦ προβλήματος, ἀλλὰ ἐν παντὶ χρόνῳ πεπερασμένου ἀριθμοῦ τοιούτων. Ἐν τῇ συγκεκριμένῃ ἐργασίᾳ ὁ Κωνσταντῖνος Καραθεοδωρῆς ἐξήτασε καὶ τὸ ἀντίστοιχον ἰσοπεριμετρικὸν πρόβλημα τῶν ἀσυνεχῶν λύσεων τοῦ Λογισμοῦ τῶν μεταβολῶν ὑπὸ μορφὴν παραμετρικήν. Ἐπ’ ἴσης, ἐγενίκευσε μίαν μέθοδον τῆς ἐξετάσεως τῶν ἐν γένει προβλημάτων τοῦ Λογισμοῦ τῶν μεταβολῶν, τὴν ὁποίαν εἶχε δώσῃ προηγουμένως ὁ Johann Bernoulli διὰ τὴν λύσιν τοῦ κλασσικοῦ προβλήματος τῶν μεταβολῶν τῆς βραχυστοχρόνου. Ἡ γενίκευσις τῆς μεθόδου αὐτῆς ἀνεπτύχθη εὐρύτερον εἰς σειρὰν ἐργασιῶν τοῦ Κωνσταντίνου Καραθεοδωρῆ ἐν συνδυασμῷ μετ’ ἄλλων ἐργασιῶν τῶν Weierstrass καὶ Hilbert καὶ Hamilton. 

 

ΠΗΓΗ

Εὐάγγελος Σπανδάγος - Ἡ ζωὴ καὶ τὸ ἔργον τοῦ Κωνσταντίνου Καραθεοδωρῆ (Ἐκδόσεις: Αἴθρα)